A coprimality condition on consecutive values of polynomials

Let $f\in\mathbb{Z}[X]$ be quadratic or cubic polynomial. We prove that there exists an integer $G_f\geq 2$ such that for every integer $k\geq G_f$ one can find infinitely many integers $n\geq 0$ with the property that none of $f(n+1),f(n+2),\dots,f(n+k)$ is coprime to all the others. This extends previous results on linear polynomials and, in particular, on consecutive integers

Perfect powers in products of terms of elliptic divisibility sequences

Diophantine problems involving recurrence sequences have a long history and is an actively studied topic within number theory. In this paper, we connect to the field by considering the equation \begin{align*} B_mB_{m+d}\dots B_{m+(k-1)d}=y^\ell \end{align*} in positive integers $m,d,k,y$ with $\gcd(m,d)=1$ and $k\geq 2$, where $\ell\geq 2$ is a fixed integer and $B=(B_n)_{n=1}^\infty$ is an elliptic divisibility sequence, an important class of non-linear recurrences. We prove that the above equation admits only finitely many solutions. In fact, we present an algorithm to find all possible solutions, provided that the set of $\ell$-th powers in $B$ is given. (Note that this set is known to be finite.) We illustrate our method by an example.Comment: To appear in Bulletin of Australian Math Societ

On the gcd-s of k consecutive terms of Lucas sequences

Tanulmányi rendszerbe betöltv

Relatív prím tulajdonság egészértékű sorozatok egymást követő tagjaiban

Jelen dolgozatban egy gyakran Pillainak tulajdonított klasszikus számelméleti problémát tanulmányoztunk, melyet a következőképpen lehet megfogalmazni. Igaz-e, hogy bármely legalább 2 egymást követő egész szám között létezik olyan, mely az összes többihez relatív prím? Ez a probléma mélyen gyökerezik mind a hosszú prímhézagokban, mind az egymást követő egészek szorzataira vonatkozó Diofantikus alkalmazásokban. Az első átfogó leírását adjuk a már ismert eredményeknek és kiterjesztjük a problémát egészek sorozatainak egymást követő tagjaira. Számos ineffektív és effektív eredményt nyerünk többek között magasabb rendű számtani sorozatokra és rekurziókra. Zárásként egy lehetséges Diofantikus alkalmazást vizsgálunk.In the present thesis, we studied a classical number theoretical problem, often attributed to Pillai, which can be formulated as follows. Is it true that among any at least 2 consecutive integers there always exists one which is coprime to all the others? This problem is deeply rooted in both the study of long prime gaps and Diophantine applications concerning products of consecutive integers. We give the first comprehensive survey of known results and extend the scope of the problem to sets of consecutive terms of integer sequences. We obtain many ineffective and effective results on higher-order arithmetic progressions and recurrences sequences. As a closure to the thesis we present a possible Diophantine application.N